Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о среднем. Следствия теоремы Лагранжа.

Если: 1) $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$ 2) $f(x)$ дифференцируема на $(a,b)$ 3) $f(a) = f(b)$ То: $\exists{c \in (a, b)}~~ f'(c) = 0$

По теореме о достижении sup и inf: $$\exists{x_{1},x_{2} \in [a,b]}\mathpunct{:}~~ \sup f(x) = f(x_{1}) \land \inf f(x) = f(x_{2})$$ Возможны два случая: 1) $\sup f(x) = \inf f(x) \implies f(x) = \text{const}$ 2) $\sup f(x) \neq \inf f(x) \implies$ хотя бы 1 точка $x_{1}$ или $x_{2} \in (a,b)$. По теореме Ферма в этой точке $f'(\widetilde{x}) = 0$ $\square$

Если: 1) $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$ 2) $f(x)$ дифференцируема на $(a,b)$ То: $\exists{c \in (a,b)}\mathpunct{:}~~ \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$

Рассмотрим: $$g(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$ Для $g(x)$ выполняется #Теорема Ролля: $$\left. \begin{array} \\ g(a) = 0 \\ g(b) = 0 \end{array} \right\} \implies \exists{c}~~ g'(c) = 0$$ Тогда: $$g'(c) = f'(c) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} = 0 ~~~\square$$

$\forall{x \in (a, b)}\mathpunct{:}~ f'(x) = 0 \implies \forall{x \in (a, b)}\mathpunct{:}~ f(x) = \mathrm{const}$

$$\forall{x_{1}, x_{2} \in (a, b)}\mathpunct{:}~~ f(x_{2}) - f(x_{1}) = f'(c)(x_{2}-x_{1}) = 0 \implies f(x) = \mathrm{const}$$

$\forall{x \in (a, b)}\mathpunct{:}~ f'(x) \geq 0 \implies f(x)$ - возрастает на $(a,b)$. $\forall{x \in (a, b)}\mathpunct{:}~ f'(x) \leq 0 \implies f(x)$ - убывает на $(a,b)$.

Возьмём без ограничения общности $x_{1}, x_{2} \in (a, b)$ такие, что $x_{1} < x_{2}$, тогда: $$\mathrm{sign}(f(x_{2}) - f(x_{1})) = \mathrm{sign}(f'(c)(x_{2} - x_{1})) = \mathrm{sign}(f'(x)) ~~~\square$$

Если: 1) $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на $[a,b]$ 2) $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы на $(a,b)$ 3) $\forall{x \in (a, b)}\mathpunct{:}~~ g'(x) \neq 0$ То: $$\exists{c \in (a, b)}\mathpunct{:}~~ \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)}$$

Рассмотрим: $$h(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}(g(x)) - g(a))$$ $h(x)$ - непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$, а значит по теореме Ролля: $$\exists{c \in (a, b)}\mathpunct{:}~~ h'(c) = 0 \implies f'(c) - \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g'(c) = 0 ~~~\square$$